Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{5} - 1$

Bước 1

Viết $f (x) = x^{5} - 1$ ở dạng một phương trình.

$y = x^{5} - 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = y^{5} - 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{5} - 1 = x$ .

$y^{5} - 1 = x$

Bước 3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{5} = x + 1$

Bước 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{x + 1}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = x^{5} - 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (x^{5} - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{(x^{5} - 1) + 1}$

Bước 5.2.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Bước 5.2.4

Cộng $x^{5}$ và $0$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Bước 5.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[5]{x + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(\sqrt[5]{x + 1})}^{5} - 1$

Bước 5.3.3

Viết lại ${\sqrt[5]{x + 1}}^{5}$ ở dạng $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 1$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 1$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 1 - 1$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ là hàm ngược của $f (x) = x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$