Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Bước 3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{3 y - 5})$ bằng cách di chuyển $3 y - 5$ ra bên ngoài lôgarit.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Bước 3.4.3

Nhân $3 y - 5$ với $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Bước 3.5

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Bước 3.6

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \ln (x + 2) + 5$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \ln (x + 2) + 5$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 3.6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 5.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 5.2.3.1.2

Cộng $e^{3 x - 5}$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $3 x - 5$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Bước 5.2.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Bước 5.2.4.3

Nhân $3 x - 5$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Bước 5.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x - 5 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Bước 5.2.5.1.2

Cộng $3 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.5.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.1

Viết lại $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ ở dạng $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.1.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.2

Để viết $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.3

Kết hợp $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.5.1.1

Nhân $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.5.1.1.1

Sắp xếp lại $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ và $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.1.1.2

Rút gọn $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.1.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.5.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.1.3

Rút gọn.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Bước 5.3.3.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Bước 5.3.3.2.2

Cộng $\ln (x + 2)$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Bước 5.3.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$