Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{3 x - 6}$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt{3 x - 6}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{3 y - 6}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{3 y - 6} = x$ .

$\sqrt{3 y - 6} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{3 y - 6}}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 y - 6}$ ở dạng ${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 y - 6)}^{1} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$3 y - 6 = x^{2}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y = x^{2} + 6$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y = x^{2} + 6$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = x^{2} + 6$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Chia $6$ cho $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 6})}^{2}}{3} + 2$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 (x) - 6}}^{2}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 x + 3 \cdot - 2}}^{2}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 (x - 2)}}^{2}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.2

Viết lại ${\sqrt{3 (x - 2)}}^{2}$ ở dạng $3 (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 (x - 2)}$ ở dạng ${(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{({(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.2.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.4

Nhân $3$ với $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x - 6}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x) - 6}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{3} + 2$

Bước 5.2.3.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Bước 5.2.3.2.2

Chia $x - 2$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x - 2 + 2$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{2}}{3} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) - 6}$

Bước 5.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) + 3 \cdot - 2}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) + 3 \cdot - 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 - 2)}$

Bước 5.3.4

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Bước 5.3.4.2

Cộng $\frac{x^{2}}{3}$ và $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Bước 5.3.5

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Bước 5.3.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Rút gọn biểu thức $\frac{3 x^{2}}{3}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Bước 5.3.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Bước 5.3.6.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 5.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$