Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt{2 x - 5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{2 y - 5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{2 y - 5} = x$ .

$\sqrt{2 y - 5} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 y - 5}}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 y - 5}$ ở dạng ${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 y - 5)}^{1} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$2 y - 5 = x^{2}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y = x^{2} + 5$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x^{2} + 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x^{2} + 5$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2} + 5}{2}$

Bước 5.2.4

Viết lại ${\sqrt{2 x - 5}}^{2}$ ở dạng $2 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x - 5}$ ở dạng ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}{2}$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}{2}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

Bước 5.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{(2 x - 5) + 5}{2}$

Bước 5.2.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Bước 5.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 5 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 5.2.5.1.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.5.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) - 5}$

Bước 5.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 5 - 5}$

Bước 5.3.6

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Bước 5.3.6.2

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 5.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$