Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Bước 1

Viết $f (x) = 6 \log (x) - 3$ ở dạng một phương trình.

$y = 6 \log (x) - 3$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 6 \log (y) - 3$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $6 \log (y) - 3 = x$ .

$6 \log (y) - 3 = x$

Bước 3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$6 \log (y) = x + 3$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $6 \log (y) = x + 3$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $6 \log (y) = x + 3$ cho $6$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $\log (y)$ cho $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Bước 3.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 3.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 3.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 3.4

Viết lại $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Bước 3.5

Viết lại phương trình ở dạng $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ có là hàm ngược của $f (x) = 6 \log (x) - 3$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6 \log (x) - 3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \log (x)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn $2 \log (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 5.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Bước 5.2.4.2.2

Cộng $\log (x^{2})$ và $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Bước 5.2.5

Khai triển $\log (x^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Bước 5.2.6.2

Chia $\log (x)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Bước 5.2.7

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ ra khỏi số mũ.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Bước 5.3.3.2

Logarit cơ số $10$ của $10$ là $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Bước 5.3.3.3

Nhân $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ với $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Bước 5.3.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Bước 5.3.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Bước 5.3.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Bước 5.3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Bước 5.3.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Bước 5.3.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ là hàm ngược của $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$