Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 5 + \ln (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 5 + \ln (x)$ ở dạng một phương trình.

$y = 5 + \ln (x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 5 + \ln (y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 + \ln (y) = x$ .

$5 + \ln (y) = x$

Bước 3.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (y) = x - 5$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{x - 5}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (y) = x - 5$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x - 5} = y$

Bước 3.5

Viết lại phương trình ở dạng $y = e^{x - 5}$ .

$y = e^{x - 5}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ có là hàm ngược của $f (x) = 5 + \ln (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (5 + \ln (x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{(5 + \ln (x)) - 5}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(5 + \ln (x)) - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $0$ và $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (e^{x - 5})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + \ln (e^{x - 5})$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 5$ ra khỏi số mũ.

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \ln (e)$

Bước 5.3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \cdot 1$

Bước 5.3.3.3

Nhân $x - 5$ với $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + x - 5$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $5 + x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (e^{x - 5}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (e^{x - 5}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ là hàm ngược của $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$