Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 e^{x + 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 e^{x + 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 e^{x + 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 e^{y + 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 e^{y + 1} = x$ .

$2 e^{y + 1} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 e^{y + 1} = x$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 e^{y + 1} = x$ cho $2$ .

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $e^{y + 1}$ cho $1$ .

$e^{y + 1} = \frac{x}{2}$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (\frac{x}{2})$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{y + 1})$ bằng cách di chuyển $y + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Bước 3.4.3

Nhân $y + 1$ với $1$ .

$y + 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Bước 3.5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 e^{x + 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 e^{x + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

Bước 5.2.3.1.2

Chia $e^{x + 1}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Bước 5.2.3.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x + 1$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Bước 5.2.3.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Bước 5.2.3.4

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 1 - 1$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{x}{2}) - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\ln (\frac{x}{2})$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Bước 5.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ là hàm ngược của $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$