Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3 e^{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = 3 e^{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 e^{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3 e^{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 e^{y} = x$ .

$3 e^{y} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{y} = x$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{y} = x$ cho $3$ .

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{3}$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.4.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ có là hàm ngược của $f (x) = 3 e^{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3 e^{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Bước 5.2.3.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \ln (e)$

Bước 5.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \cdot 1$

Bước 5.2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{x}{3}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Bước 5.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ là hàm ngược của $f (x) = 3 e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$