Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = {(x - 2)}^{3} + 8$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(y - 2)}^{3} + 8$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(y - 2)}^{3} + 8 = x$ .

${(y - 2)}^{3} + 8 = x$

Bước 2.2

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(y - 2)}^{3} = x - 8$

Bước 2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y - 2 = \sqrt[3]{x - 8}$

Bước 2.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt[3]{x - 8} + 2$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 8$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = \sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} + 8) - 8} + 2$

Bước 4.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} + 8) - 8} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3} + 0} + 2$

Bước 4.2.3.2

Cộng ${(x - 2)}^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Bước 4.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = x - 2 + 2$

Bước 4.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = x + 0$

Bước 4.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\sqrt[3]{x - 8} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {((\sqrt[3]{x - 8} + 2) - 2)}^{3} + 8$

Bước 4.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong ${((\sqrt[3]{x - 8} + 2) - 2)}^{3} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(\sqrt[3]{x - 8} + 0)}^{3} + 8$

Bước 4.3.3.2

Cộng $\sqrt[3]{x - 8}$ và $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {\sqrt[3]{x - 8}}^{3} + 8$

Bước 4.3.4

Viết lại ${\sqrt[3]{x - 8}}^{3}$ ở dạng $x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 8}$ ở dạng ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 8$

Bước 4.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 8$

Bước 4.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} + 8$

Bước 4.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} + 8$

Bước 4.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = (x - 8) + 8$

Bước 4.3.4.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = x - 8 + 8$

Bước 4.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 8 + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Cộng $- 8$ và $8$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = x + 0$

Bước 4.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$ là hàm ngược của $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$