Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Bước 1

Tìm mọi tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Bước 1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

Bước 2

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$ khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 2.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 2.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- 1)$ và đặt kết quả của $(- 4)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$

Bước 2.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$	$- 16$

Bước 2.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 16)$ với số chia $(- 1)$ và đặt kết quả của $(16)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$

Bước 2.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$	$15$

Bước 2.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(15)$ với số chia $(- 1)$ và đặt kết quả của $(- 15)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$

Bước 2.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$	$0$

Bước 2.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 16 x + 15$

Bước 2.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

Bước 3

Vì $- 1 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 1$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 1$

Bước 4

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 3}$ khi $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 4.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 4.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$

Bước 4.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$	$- 24$

Bước 4.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 24)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(72)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$

Bước 4.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$	$71$

Bước 4.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(71)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 213)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$

Bước 4.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$	$- 198$

Bước 4.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 24 x + 71 + \frac{- 198}{x + 3}$

Bước 4.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 24 x + 71 - \frac{198}{x + 3}$

Bước 5

Vì $- 3 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 3$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 3$

Bước 6

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{3}{2}}$ khi $x = - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- \frac{3}{2})$ và đặt kết quả của $(- 6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$	$- 18$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 18)$ với số chia $(- \frac{3}{2})$ và đặt kết quả của $(27)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$	$26$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(26)$ với số chia $(- \frac{3}{2})$ và đặt kết quả của $(- 39)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$	$- 24$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 18 x + 26 + \frac{- 24}{x + \frac{3}{2}}$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 18 x + 26 - \frac{48}{2 x + 3}$

Bước 7

Vì $- \frac{3}{2} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{3}{2}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{3}{2}$

Bước 8

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 5}$ khi $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 8.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 8.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(20)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$

Bước 8.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$	$8$

Bước 8.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(8)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(40)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$

Bước 8.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$	$39$

Bước 8.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(39)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(195)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$

Bước 8.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$	$210$

Bước 8.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + 8 x + 39 + \frac{210}{x - 5}$

Bước 9

Vì $5 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $5$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $5$

Bước 10

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 5}$ khi $x = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 10.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 10.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- 5)$ và đặt kết quả của $(- 20)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$

Bước 10.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$	$- 32$

Bước 10.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 32)$ với số chia $(- 5)$ và đặt kết quả của $(160)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$

Bước 10.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$	$159$

Bước 10.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(159)$ với số chia $(- 5)$ và đặt kết quả của $(- 795)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$

Bước 10.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$	$- 780$

Bước 10.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 32 x + 159 + \frac{- 780}{x + 5}$

Bước 10.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 32 x + 159 - \frac{780}{x + 5}$

Bước 11

Vì $- 5 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 5$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 5$

Bước 12

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{2}}$ khi $x = - \frac{5}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 12.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 12.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- \frac{5}{2})$ và đặt kết quả của $(- 10)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$

Bước 12.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$	$- 22$

Bước 12.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 22)$ với số chia $(- \frac{5}{2})$ và đặt kết quả của $(55)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$

Bước 12.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$	$54$

Bước 12.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(54)$ với số chia $(- \frac{5}{2})$ và đặt kết quả của $(- 135)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$

Bước 12.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$	$- 120$

Bước 12.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 22 x + 54 + \frac{- 120}{x + \frac{5}{2}}$

Bước 12.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 22 x + 54 - \frac{240}{2 x + 5}$

Bước 13

Vì $- \frac{5}{2} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{5}{2}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{5}{2}$

Bước 14

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{4}}$ khi $x = - \frac{5}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 14.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 14.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- \frac{5}{4})$ và đặt kết quả của $(- 5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$

Bước 14.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$	$- 17$

Bước 14.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 17)$ với số chia $(- \frac{5}{4})$ và đặt kết quả của $(\frac{85}{4})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$

Bước 14.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Bước 14.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(\frac{81}{4})$ với số chia $(- \frac{5}{4})$ và đặt kết quả của $(- \frac{405}{16})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Bước 14.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$	$- \frac{165}{16}$

Bước 14.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 17 x + \frac{81}{4} + \frac{- \frac{165}{16}}{x + \frac{5}{4}}$

Bước 14.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 17 x + \frac{81}{4} - \frac{165}{4 (4 x + 5)}$

Bước 15

Vì $- \frac{5}{4} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{5}{4}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{5}{4}$

Bước 16

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 15}$ khi $x = 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 16.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 16.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(15)$ và đặt kết quả của $(60)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$

Bước 16.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$	$48$

Bước 16.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(48)$ với số chia $(15)$ và đặt kết quả của $(720)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$

Bước 16.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$	$719$

Bước 16.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(719)$ với số chia $(15)$ và đặt kết quả của $(10785)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$

Bước 16.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$	$10800$

Bước 16.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + 48 x + 719 + \frac{10800}{x - 15}$

Bước 17

Vì $15 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $15$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $15$

Bước 18

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 15}$ khi $x = - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 18.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 18.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- 15)$ và đặt kết quả của $(- 60)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$

Bước 18.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$	$- 72$

Bước 18.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 72)$ với số chia $(- 15)$ và đặt kết quả của $(1080)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$

Bước 18.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$	$1079$

Bước 18.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1079)$ với số chia $(- 15)$ và đặt kết quả của $(- 16185)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$

Bước 18.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$	$- 16170$

Bước 18.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 72 x + 1079 + \frac{- 16170}{x + 15}$

Bước 18.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 72 x + 1079 - \frac{16170}{x + 15}$

Bước 19

Vì $- 15 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 15$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 15$

Bước 20

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{2}}$ khi $x = \frac{15}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 20.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 20.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(\frac{15}{2})$ và đặt kết quả của $(30)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$

Bước 20.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$	$18$

Bước 20.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(18)$ với số chia $(\frac{15}{2})$ và đặt kết quả của $(135)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$

Bước 20.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$	$134$

Bước 20.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(134)$ với số chia $(\frac{15}{2})$ và đặt kết quả của $(1005)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$

Bước 20.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$	$1020$

Bước 20.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{1020}{x - \frac{15}{2}}$

Bước 20.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{2040}{2 x - 15}$

Bước 21

Vì $\frac{15}{2} > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $\frac{15}{2}$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $\frac{15}{2}$

Bước 22

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{2}}$ khi $x = - \frac{15}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 22.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 22.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- \frac{15}{2})$ và đặt kết quả của $(- 30)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$

Bước 22.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$	$- 42$

Bước 22.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 42)$ với số chia $(- \frac{15}{2})$ và đặt kết quả của $(315)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$

Bước 22.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$	$314$

Bước 22.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(314)$ với số chia $(- \frac{15}{2})$ và đặt kết quả của $(- 2355)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$

Bước 22.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$	$- 2340$

Bước 22.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 42 x + 314 + \frac{- 2340}{x + \frac{15}{2}}$

Bước 22.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 42 x + 314 - \frac{4680}{2 x + 15}$

Bước 23

Vì $- \frac{15}{2} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{15}{2}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{15}{2}$

Bước 24

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{4}}$ khi $x = \frac{15}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 24.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 24.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(\frac{15}{4})$ và đặt kết quả của $(15)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$

Bước 24.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$	$3$

Bước 24.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(\frac{15}{4})$ và đặt kết quả của $(\frac{45}{4})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$

Bước 24.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Bước 24.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(\frac{41}{4})$ với số chia $(\frac{15}{4})$ và đặt kết quả của $(\frac{615}{16})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Bước 24.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$	$\frac{855}{16}$

Bước 24.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{\frac{855}{16}}{x - \frac{15}{4}}$

Bước 24.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{855}{4 (4 x - 15)}$

Bước 25

Vì $\frac{15}{4} > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $\frac{15}{4}$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $\frac{15}{4}$

Bước 26

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{4}}$ khi $x = - \frac{15}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Bước 26.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Bước 26.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- \frac{15}{4})$ và đặt kết quả của $(- 15)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$

Bước 26.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$	$- 27$

Bước 26.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 27)$ với số chia $(- \frac{15}{4})$ và đặt kết quả của $(\frac{405}{4})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$

Bước 26.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Bước 26.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(\frac{401}{4})$ với số chia $(- \frac{15}{4})$ và đặt kết quả của $(- \frac{6015}{16})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(15)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Bước 26.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$	$- \frac{5775}{16}$

Bước 26.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$4 x^{2} + - 27 x + \frac{401}{4} + \frac{- \frac{5775}{16}}{x + \frac{15}{4}}$

Bước 26.10

Rút gọn đa thức thương.

$4 x^{2} - 27 x + \frac{401}{4} - \frac{5775}{4 (4 x + 15)}$

Bước 27

Vì $- \frac{15}{4} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{15}{4}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{15}{4}$

Bước 28

Xác định các biên trên và dưới.

Các biên trên: $5, 15, \frac{15}{2}, \frac{15}{4}$

Các biên dưới: $- 1, - 3, - \frac{3}{2}, - 5, - \frac{5}{2}, - \frac{5}{4}, - 15, - \frac{15}{2}, - \frac{15}{4}$

Bước 29