Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 (x + h) + 2$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x + h) + 2$

Bước 2.1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Bước 2.2.2

Di chuyển $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

Bước 2.2.3

Di chuyển $2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Bước 2.2.4

Di chuyển $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Bước 2.2.5

Di chuyển $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Bước 2.2.6

Sắp xếp lại $3 h^{2} x$ và $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - (x^{3} + 2 x + 2)}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - (2 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - 2 x - 1 \cdot 2}{h}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - 2 x - 2}{h}$

Bước 4.1.3

Trừ $x^{3}$ khỏi $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + 0 - 2 x - 2}{h}$

Bước 4.1.4

Cộng $h^{3}$ và $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 2 - 2 x - 2}{h}$

Bước 4.1.5

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0 + 2 - 2}{h}$

Bước 4.1.6

Cộng $h^{3}$ và $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 - 2}{h}$

Bước 4.1.7

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0}{h}$

Bước 4.1.8

Cộng $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ và $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Bước 4.1.9

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Bước 4.1.9.2

Đưa $h$ ra ngoài $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Bước 4.1.9.3

Đưa $h$ ra ngoài $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h}{h}$

Bước 4.1.9.4

Đưa $h$ ra ngoài $2 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Bước 4.1.9.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Bước 4.1.9.6

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Bước 4.1.9.7

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$ cho $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$

Bước 4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Di chuyển $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2$

Bước 4.2.2.3

Sắp xếp lại $3 x h$ và $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2$

Bước 5