Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{(x + h) + 3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} - (\frac{x - 3}{x + 3})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{x - 3}{x + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h + 3) (x + 3)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{x - 3}{x + 3}$ với $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3) - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5

Viết lại $\frac{(x + h - 3) (x + 3) - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Khai triển $(x + h - 3) (x + 3)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot 3$ và $- 3 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + 3 x + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.2

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 3 + 0 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.3

Cộng $x \cdot x + h x + h \cdot 3$ và $0$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 3 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 3 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 \cdot h - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3.3

Nhân $- 3$ với $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 + (- x - - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.5

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 + (- x + 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.6

Khai triển $(- x + 3) (x + h + 3)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.8

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.8.1

Cộng $- 3 x$ và $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h + 0 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.2

Cộng $- x^{2} - x h$ và $0$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.9

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 9 + 0 - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.10

Cộng $h x$ và $0$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 9 - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.11

Trừ $x h$ khỏi $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.11.1

Sắp xếp lại $h$ và $x$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + x h - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.11.2

Trừ $x h$ khỏi $x h$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + 0 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.12

Cộng $3 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.13

Cộng $3 h$ và $3 h$ .

$\frac{\frac{6 h - 9 + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.14

Cộng $- 9$ và $9$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.15

Cộng $6 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $h$ ra ngoài $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Bước 5