Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ , $y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 1

Trừ ${(x - 1)}^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(y + 4)}^{2} = 4 - {(x - 1)}^{2}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 4 = \pm \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 3

Rút gọn $\pm \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = x - 1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Cộng $2$ và $1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y + 4 = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y + 4 = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 8$ , và $c = - x + 13$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x + 13))}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 4$ với $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Trừ $52$ khỏi $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $4 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 4$ với $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Trừ $52$ khỏi $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $4 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 9

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $- 4$ với $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Trừ $52$ khỏi $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $4 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa $4$ ra ngoài $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 10

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 11

Vẽ một đồ thị để xác định vị trí giao điểm của các phương trình. Giao điểm của hệ phương trình là đáp án.

$(1, - 2)$

$(1, - 6)$

$(0, - 4 + \sqrt{3})$

$(0, - 4 - \sqrt{3})$

Step 12