Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = x^{2} - 13$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Bước 1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ bằng $x^{2} - 13$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ trong $x^{2} + y^{2} = 25$ bằng $x^{2} - 13$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2} = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn $x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Viết lại ${(x^{2} - 13)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 13) (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.2

Khai triển $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 13) - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.3.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.3.1.2

Di chuyển $- 13$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 \cdot x^{2} - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.3.1.3

Nhân $- 13$ với $- 13$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.1.3.2

Trừ $13 x^{2}$ khỏi $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 1.2.1.2

Trừ $26 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2

Giải tìm $x$ trong $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$u^{2} - 25 u + 169 = 25$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.2

Trừ $25$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} - 25 u + 169 - 25 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.3

Trừ $25$ khỏi $169$ .

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.4

Phân tích $u^{2} - 25 u + 144$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $144$ và tổng của chúng là $- 25$ .

$- 16, - 9$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.6

Đặt $u - 16$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $u - 16$ bằng với $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.6.2

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.7

Đặt $u - 9$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đặt $u - 9$ bằng với $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.7.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 16) (u - 9) = 0$ đúng.

$u = 16, 9$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.9

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 16$

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.10

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.11

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.11.2

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.11.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.11.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.11.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.11.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.12

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13.3

Rút gọn $\pm \sqrt{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.13.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Bước 2.14

Đáp án cho $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ là $x = 4, - 4, 3, - 3$ .

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Bước 3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${(4)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Bước 3.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $- 4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Bước 4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Bước 4.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn ${(4)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Bước 5.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $- 4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Bước 6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Bước 6.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $3$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn ${(3)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Bước 7.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Bước 8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn ${(4)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Bước 8.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $- 4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Bước 9.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Bước 9.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $3$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Bước 10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn ${(3)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Bước 10.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $- 3$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y = x^{2} - 13$ bằng $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2} - 13$

$x = - 3$

Bước 11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn ${(- 3)}^{2} - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = - 3$

Bước 11.2.1.2

Trừ $13$ khỏi $9$ .

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

Bước 12

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(4, 3)$

$(- 4, 3)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng điểm:

$(4, 3), (- 4, 3), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Dạng phương trình:

$x = 4, y = 3$

$x = - 4, y = 3$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Bước 14