Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Bước 1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Bước 2

Giải $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{144 - x^{2}}$ ở dạng ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Bước 2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Bước 2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Bước 2.2.2.1.2

Rút gọn.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn ${(16 - x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Viết lại ${(16 - x)}^{2}$ ở dạng $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Bước 2.2.3.1.2

Khai triển $(16 - x) (16 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Bước 2.2.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Bước 2.2.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Bước 2.2.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.3.1.1

Nhân $16$ với $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Bước 2.2.3.1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Bước 2.2.3.1.3.1.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Bước 2.2.3.1.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Bước 2.2.3.1.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Bước 2.2.3.1.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Bước 2.2.3.1.3.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Bước 2.2.3.1.3.1.7

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Bước 2.2.3.1.3.2

Trừ $16 x$ khỏi $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Bước 2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Bước 2.3.2.2

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Bước 2.3.3

Trừ $144$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Bước 2.3.4

Trừ $144$ khỏi $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Bước 2.3.5

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Bước 2.3.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Bước 2.3.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Bước 2.3.5.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Bước 2.3.5.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Bước 2.3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Bước 2.3.6

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.6.2.1.2

Chia $x^{2} - 16 x + 56$ cho $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Bước 2.3.7

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Bước 2.3.8

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 16$ , và $c = 56$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.1

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.1.2.2

Nhân $- 4$ với $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.1.3

Trừ $224$ khỏi $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.1.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.9.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.9.3

Rút gọn $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 2.3.10

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1.1

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.1.2.2

Nhân $- 4$ với $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.1.3

Trừ $224$ khỏi $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.1.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.10.3

Rút gọn $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 2.3.10.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Bước 2.3.11

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1.1

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.1.2.2

Nhân $- 4$ với $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.1.3

Trừ $224$ khỏi $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.1.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.11.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.11.3

Rút gọn $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 2.3.11.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Bước 2.3.12

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Bước 3

Tính $y$ khi $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $8 + 2 \sqrt{2}$ bằng $x$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Bước 3.2

Rút gọn $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Bước 3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Bước 3.2.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Bước 3.2.2

Trừ $8$ khỏi $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Bước 4

Tính $y$ khi $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $8 - 2 \sqrt{2}$ bằng $x$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Bước 4.2

Rút gọn $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Bước 4.2.2

Trừ $8$ khỏi $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Bước 5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng điểm:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Dạng phương trình:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Bước 7