Giải tích sơ cấp Ví dụ

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 18 x - 64 y - 71 = 0$

Bước 1

Cộng $71$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 18 x - 64 y = 71$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $9 x^{2} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 9}{9}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 2.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $- 18$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Bước 2.4.2.1.3

Chia $324$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Bước 2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$e = 0 - 9$

Bước 2.4.2.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$e = - 9$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Bước 3

Thay $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ cho $9 x^{2} - 18 x$ trong phương trình $9 x^{2} + 16 y^{2} - 18 x - 64 y = 71$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 16 y^{2} - 64 y = 71$

Bước 4

Di chuyển $- 9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 1)}^{2} + 16 y^{2} - 64 y = 71 + 9$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $16 y^{2} - 64 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 64$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 32}{16}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Bước 5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 5.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 64$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $4096$ cho $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $64$ .

$e = 0 - 64$

Bước 5.4.2.2

Trừ $64$ khỏi $0$ .

$e = - 64$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $16 {(y - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(y - 2)}^{2} - 64$

Bước 6

Thay $16 {(y - 2)}^{2} - 64$ cho $16 y^{2} - 64 y$ trong phương trình $9 x^{2} + 16 y^{2} - 18 x - 64 y = 71$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 16 {(y - 2)}^{2} - 64 = 71 + 9$

Bước 7

Di chuyển $- 64$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $64$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 1)}^{2} + 16 {(y - 2)}^{2} = 71 + 9 + 64$

Bước 8

Rút gọn $71 + 9 + 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $71$ và $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 16 {(y - 2)}^{2} = 80 + 64$

Bước 8.2

Cộng $80$ và $64$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 16 {(y - 2)}^{2} = 144$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $144$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y - 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1$