Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(y + 3)}^{2} = 4 (x - 1)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ .

$4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Bước 2.2.1.2

Chia $x - 1$ cho $1$ .

$x - 1 = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Bước 3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} + 1$

Bước 4

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 3)}^{2} + 1$

Bước 4.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = - 3$

Bước 4.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm sang phải.

Quay mặt lõm sang phải

Bước 4.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Bước 4.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 4.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Bước 4.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Bước 4.5.3.2

Rút gọn bằng cách chia các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1

Chia $4$ cho $4$ .

$\frac{1}{1}$

Bước 4.5.3.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1$

Bước 4.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 4.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, - 3)$

Bước 4.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = - 3$

Bước 4.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 4.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = 0$

Bước 4.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(1, - 3)$

Tiêu điểm: $(2, - 3)$

Trục đối xứng: $y = - 3$

Đường chuẩn: $x = 0$

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(1, - 3)$

Tiêu điểm: $(2, - 3)$

Trục đối xứng: $y = - 3$

Đường chuẩn: $x = 0$

Bước 5

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $x$ giá trị $2$ vào $f (x) = 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . Trong trường hợp này, điểm là $(2, - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = 2 \sqrt{(2) - 1} - 3$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{1} - 3$

Bước 5.1.2.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (2) = 2 \cdot 1 - 3$

Bước 5.1.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f (2) = 2 - 3$

Bước 5.1.2.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f (2) = - 1$

Bước 5.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 5.1.3

Quy đổi $- 1$ thành số thập phân.

$= - 1$

Bước 5.2

Thay $x$ giá trị $2$ vào $f (x) = - 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . Trong trường hợp này, điểm là $(2, - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = - 2 \sqrt{(2) - 1} - 3$

Bước 5.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{1} - 3$

Bước 5.2.2.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (2) = - 2 \cdot 1 - 3$

Bước 5.2.2.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (2) = - 2 - 3$

Bước 5.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$f (2) = - 5$

Bước 5.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 5$ .

$y = - 5$

Bước 5.2.3

Quy đổi $- 5$ thành số thập phân.

$= - 5$

Bước 5.3

Thay $x$ giá trị $3$ vào $f (x) = 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . Trong trường hợp này, điểm là $(3, - 0.17157287)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = 2 \sqrt{(3) - 1} - 3$

Bước 5.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f (3) = 2 \sqrt{2} - 3$

Bước 5.3.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 \sqrt{2} - 3$ .

$y = 2 \sqrt{2} - 3$

Bước 5.3.3

Quy đổi $2 \sqrt{2} - 3$ thành số thập phân.

$= - 0.17157287$

Bước 5.4

Thay $x$ giá trị $3$ vào $f (x) = - 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . Trong trường hợp này, điểm là $(3, - 5.82842712)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = - 2 \sqrt{(3) - 1} - 3$

Bước 5.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f (3) = - 2 \sqrt{2} - 3$

Bước 5.4.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 \sqrt{2} - 3$ .

$y = - 2 \sqrt{2} - 3$

Bước 5.4.3

Quy đổi $- 2 \sqrt{2} - 3$ thành số thập phân.

$= - 5.82842712$

Bước 5.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 1 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 0.17 \\ 3 & - 5.83 \end{array}$

Bước 6

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(1, - 3)$

Tiêu điểm: $(2, - 3)$

Trục đối xứng: $y = - 3$

Đường chuẩn: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 1 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 0.17 \\ 3 & - 5.83 \end{array}$

Bước 7