Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ .

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ cho $8$ .

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Bước 2.2.1.2

Chia $x + 3$ cho $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Bước 3

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

Bước 4

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

Bước 4.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

Bước 4.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm sang phải.

Quay mặt lõm sang phải

Bước 4.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Bước 4.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 4.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Bước 4.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Bước 4.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Bước 4.5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Bước 4.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Bước 4.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Bước 4.5.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \cdot 2$

Bước 4.5.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 4.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, 1)$

Bước 4.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = 1$

Bước 4.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 4.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = - 5$

Bước 4.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(- 3, 1)$

Tiêu điểm: $(- 1, 1)$

Trục đối xứng: $y = 1$

Đường chuẩn: $x = - 5$

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(- 3, 1)$

Tiêu điểm: $(- 1, 1)$

Trục đối xứng: $y = 1$

Đường chuẩn: $x = - 5$

Bước 5

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $x$ giá trị $- 2$ vào $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 2, 3.82842712)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Bước 5.1.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

Bước 5.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

Bước 5.1.3

Quy đổi $2 \sqrt{2} + 1$ thành số thập phân.

$= 3.82842712$

Bước 5.2

Thay $x$ giá trị $- 2$ vào $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 2, - 1.82842712)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

Bước 5.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

Bước 5.2.3

Quy đổi $- 2 \sqrt{2} + 1$ thành số thập phân.

$= - 1.82842712$

Bước 5.3

Thay $x$ giá trị $- 1$ vào $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 1, 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Bước 5.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Cộng $- 1$ và $3$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Bước 5.3.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

Bước 5.3.2.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Bước 5.3.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

Bước 5.3.2.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- 1) = 4 + 1$

Bước 5.3.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f (- 1) = 5$

Bước 5.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$y = 5$

Bước 5.3.3

Quy đổi $5$ thành số thập phân.

$= 5$

Bước 5.4

Thay $x$ giá trị $- 1$ vào $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 1, - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Bước 5.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Cộng $- 1$ và $3$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

Bước 5.4.2.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Bước 5.4.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

Bước 5.4.2.1.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Bước 5.4.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Bước 5.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$y = - 3$

Bước 5.4.3

Quy đổi $- 3$ thành số thập phân.

$= - 3$

Bước 5.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Bước 6

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(- 3, 1)$

Tiêu điểm: $(- 1, 1)$

Trục đối xứng: $y = 1$

Đường chuẩn: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Bước 7