Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = 3$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(3, 1)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Bước 5.3.3

Cộng $16$ và $9$ .

$\sqrt{25}$

Bước 5.3.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$5$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(7, 1)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(7, 1), (- 1, 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(8, 1)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 1)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(8, 1), (- 2, 1)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Bước 8.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Bước 8.3.3

Cộng $16$ và $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Bước 8.3.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Bước 8.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5}{4}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{3^{2}}{5}$

Bước 9.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{9}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3) + 1$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Bước 11.2.1.4

Nhân $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

Bước 11.2.1.4.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4} + 1$

Bước 11.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + 1$

Bước 11.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Bước 11.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 + 4}{4}$

Bước 11.2.2.3

Cộng $- 9$ và $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Bước 11.2.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3) + 1$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Bước 12.2.1.4

Nhân $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4}) + 1$

Bước 12.2.1.4.2

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4} + 1$

Bước 12.2.1.4.3

Nhân $3$ với $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4} + 1$

Bước 12.2.1.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + 1$

Bước 12.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Bước 12.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 + 4}{4}$

Bước 12.2.2.3

Cộng $9$ và $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(3, 1)$

Các đỉnh: $(7, 1), (- 1, 1)$

Tiêu điểm: $(8, 1), (- 2, 1)$

Tâm sai: $\frac{5}{4}$

Tham số tiêu: $\frac{9}{5}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Bước 15