Giải tích sơ cấp Ví dụ

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y - 172 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $172$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $9 x^{2} - 36 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 36$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 18}{9}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 18$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 36$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $1296$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $36$ .

$e = 0 - 36$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$e = - 36$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Bước 1.3

Thay $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ cho $9 x^{2} - 36 x$ trong phương trình $9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 16 y^{2} - 64 y = 172$

Bước 1.4

Di chuyển $- 36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} - 64 y = 172 + 36$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 16 y^{2} - 64 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 16}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 64$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 16)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 32}{- 16}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $- 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $- 16$ ra ngoài $- 32$ .

$d = \frac{- 16 (2)}{- 16}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.2.1

Đưa $- 16$ ra ngoài $- 16$ .

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{2}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$d = 2$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 16}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 64$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot - 16}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{- 64}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $4096$ cho $- 64$ .

$e = 0 - - 64$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $64$ .

$e = 64$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ .

$- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$

Bước 1.6

Thay $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ cho $- 16 y^{2} - 64 y$ trong phương trình $9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} + 64 = 172 + 36$

Bước 1.7

Di chuyển $64$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $64$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 172 + 36 - 64$

Bước 1.8

Rút gọn $172 + 36 - 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $172$ và $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 208 - 64$

Bước 1.8.2

Trừ $64$ khỏi $208$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 144$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $144$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 2$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(2, - 2)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Bước 5.3.3

Cộng $16$ và $9$ .

$\sqrt{25}$

Bước 5.3.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$5$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(6, - 2)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, - 2)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(6, - 2), (- 2, - 2)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(7, - 2)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 3, - 2)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(7, - 2), (- 3, - 2)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Bước 8.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Bước 8.3.3

Cộng $16$ và $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Bước 8.3.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Bước 8.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5}{4}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{3^{2}}{5}$

Bước 9.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{9}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 2$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2 - 2$

Bước 11.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Bước 11.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Bước 11.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 2$

Bước 11.2.1.5

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 2$

Bước 11.2.1.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2} - 2$

Bước 11.2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} - 2$

Bước 11.2.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 11.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Bước 11.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 - 2 \cdot 2}{2}$

Bước 11.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 - 4}{2}$

Bước 11.2.5.2

Trừ $4$ khỏi $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 7}{2}$

Bước 11.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 2$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{4}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 2 - 2$

Bước 12.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} \cdot - 2 - 2$

Bước 12.2.1.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Bước 12.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Bước 12.2.1.4.5

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2} \cdot - 1 - 2$

Bước 12.2.1.5

Kết hợp $\frac{- 3}{2}$ và $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2} - 2$

Bước 12.2.1.6

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} - 2$

Bước 12.2.1.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} - 2$

Bước 12.2.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 12.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Bước 12.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3 - 2 \cdot 2}{2}$

Bước 12.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3 - 4}{2}$

Bước 12.2.5.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Bước 12.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}, y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(2, - 2)$

Các đỉnh: $(6, - 2), (- 2, - 2)$

Tiêu điểm: $(7, - 2), (- 3, - 2)$

Tâm sai: $\frac{5}{4}$

Tham số tiêu: $\frac{9}{5}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Bước 15