Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (θ) < 0$ , $\tan (θ) < 0$

Bước 1

Giải $\sin (θ) < 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm sin.

$θ < \arcsin (0)$

Bước 1.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$θ < 0$

Bước 1.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$θ = π - 0$

Bước 1.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$θ = π$

Bước 1.5

Tìm chu kỳ của $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.6

Chu kỳ của hàm $\sin (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.7

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Bước 1.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < θ < π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < θ < π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$θ = 2$

Bước 1.9.1.2

Thay thế $θ$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2) < 0$

Bước 1.9.1.3

Vế trái $0.90929742$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $π < θ < 2 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $π < θ < 2 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$θ = 5$

Bước 1.9.2.2

Thay thế $θ$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (5) < 0$

Bước 1.9.2.3

Vế trái $- 0.95892427$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.9.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < θ < π$ Sai

$π < θ < 2 π$ Đúng

$0 < θ < π$ Sai

$π < θ < 2 π$ Đúng

Bước 1.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Giải $\tan (θ) < 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ < \arctan (0)$

Bước 2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$θ < 0$

Bước 2.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = π + 0$

Bước 2.4

Cộng $π$ và $0$ .

$θ = π$

Bước 2.5

Tìm chu kỳ của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 2.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.6

Chu kỳ của hàm $\tan (θ)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = π n, π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.7

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.8

Tìm tập xác định của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đặt đối số trong $\tan (θ)$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.8.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $θ$ và làm cho biểu thức xác định.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 2.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

Bước 2.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < θ < \frac{π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < θ < \frac{π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$θ = 1$

Bước 2.10.1.2

Thay thế $θ$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (1) < 0$

Bước 2.10.1.3

Vế trái $1.55740772$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{2} < θ < π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{2} < θ < π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$θ = 2$

Bước 2.10.2.2

Thay thế $θ$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (2) < 0$

Bước 2.10.2.3

Vế trái $- 2.18503986$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.10.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Sai

$\frac{π}{2} < θ < π$ Đúng

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Sai

$\frac{π}{2} < θ < π$ Đúng

Bước 2.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm phần giao của $π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ và $\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ .

Không có đáp án