Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y^{2} - 10 y + 12 x + 109 = 0$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 10 y + 12 x + 109 = - y^{2}$

Bước 1.2

Cộng $10 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$12 x + 109 = - y^{2} + 10 y$

Bước 1.3

Trừ $109$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$12 x = - y^{2} + 10 y - 109$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ cho $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{12} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 (6)} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 6} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} + \frac{- 109}{12}$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$

Bước 3

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Hoàn thành bình phương cho $- \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{109}{12}$

Bước 3.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.3.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Bước 3.1.1.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Bước 3.1.1.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Bước 3.1.1.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Bước 3.1.1.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Bước 3.1.1.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Bước 3.1.1.3.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 6))$

Bước 3.1.1.3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.2.6.1

Đưa $6$ ra ngoài $- (1 \cdot 6)$ .

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Bước 3.1.1.3.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Bước 3.1.1.3.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Bước 3.1.1.3.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Bước 3.1.1.3.2.8

Nhân $5$ với $- 1$ .

$d = - 5$

Bước 3.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.4.2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.4.2.1.1.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.4.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Bước 3.1.1.4.2.1.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Bước 3.1.1.4.2.1.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Bước 3.1.1.4.2.1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 3.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 3.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Bước 3.1.1.4.2.1.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Bước 3.1.1.4.2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{36} (- 1 \cdot 3))$

Bước 3.1.1.4.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Bước 3.1.1.4.2.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 1 \cdot 3$ .

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Bước 3.1.1.4.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Bước 3.1.1.4.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{12} \cdot - 1)$

Bước 3.1.1.4.2.1.6

Kết hợp $\frac{25}{12}$ và $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{25 \cdot - 1}{12}$

Bước 3.1.1.4.2.1.7

Nhân $25$ với $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{- 25}{12}$

Bước 3.1.1.4.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{109}{12} - - \frac{25}{12}$

Bước 3.1.1.4.2.1.9

Nhân $- - \frac{25}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.2.1.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} + 1 (\frac{25}{12})$

Bước 3.1.1.4.2.1.9.2

Nhân $\frac{25}{12}$ với $1$ .

$e = - \frac{109}{12} + \frac{25}{12}$

Bước 3.1.1.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{- 109 + 25}{12}$

Bước 3.1.1.4.2.3

Cộng $- 109$ và $25$ .

$e = \frac{- 84}{12}$

Bước 3.1.1.4.2.4

Chia $- 84$ cho $12$ .

$e = - 7$

Bước 3.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$ .

$- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$

Bước 3.1.2

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y - 5)}^{2} - 7$

Bước 3.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 7$

$k = 5$

Bước 3.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm sang trái.

Quay mặt lõm sang trái

Bước 3.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 7, 5)$

Bước 3.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 3.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Bước 3.5.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 3.5.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Bước 3.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Bước 3.5.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 3.5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 3.5.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Bước 3.5.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (1 \cdot 3)$

Bước 3.5.3.5

Nhân $- (1 \cdot 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Bước 3.5.3.5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3$

Bước 3.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 3.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 10, 5)$

Bước 3.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = 5$

Bước 3.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 3.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = - 4$

Bước 3.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(- 7, 5)$

Tiêu điểm: $(- 10, 5)$

Trục đối xứng: $y = 5$

Đường chuẩn: $x = - 4$

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(- 7, 5)$

Tiêu điểm: $(- 10, 5)$

Trục đối xứng: $y = 5$

Đường chuẩn: $x = - 4$

Bước 4

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ giá trị $- 9$ vào $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 9, 9.89897948)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 9$ trong biểu thức.

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Bước 4.1.2.1.2

Trừ $7$ khỏi $9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $3$ với $2$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{6}$

Bước 4.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $5 + 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{6}$

Bước 4.1.3

Quy đổi $5 + 2 \sqrt{6}$ thành số thập phân.

$= 9.89897948$

Bước 4.2

Thay $x$ giá trị $- 9$ vào $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 9, 0.10102051)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 9$ trong biểu thức.

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Bước 4.2.2.1.2

Trừ $7$ khỏi $9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Bước 4.2.2.1.3

Nhân $3$ với $2$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{6}$

Bước 4.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $5 - 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{6}$

Bước 4.2.3

Quy đổi $5 - 2 \sqrt{6}$ thành số thập phân.

$= 0.10102051$

Bước 4.3

Thay $x$ giá trị $- 8$ vào $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 8, 8.46410161)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 8$ trong biểu thức.

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Bước 4.3.2.1.2

Trừ $7$ khỏi $8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Bước 4.3.2.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3}$

Bước 4.3.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $5 + 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{3}$

Bước 4.3.3

Quy đổi $5 + 2 \sqrt{3}$ thành số thập phân.

$= 8.46410161$

Bước 4.4

Thay $x$ giá trị $- 8$ vào $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 8, 1.53589838)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 8$ trong biểu thức.

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Bước 4.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Bước 4.4.2.1.2

Trừ $7$ khỏi $8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Bước 4.4.2.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3}$

Bước 4.4.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $5 - 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{3}$

Bước 4.4.3

Quy đổi $5 - 2 \sqrt{3}$ thành số thập phân.

$= 1.53589838$

Bước 4.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Bước 5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(- 7, 5)$

Tiêu điểm: $(- 10, 5)$

Trục đối xứng: $y = 5$

Đường chuẩn: $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Bước 6