Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{3}{4} \cdot \cos (2 x + \frac{2 π}{3})$

Bước 1

Sử dụng dạng $a \cos (b x - c) + d$ để tìm các biến được sử dụng để tìm biên độ, chu kỳ, độ lệch pha, và sự dịch chuyển dọc.

$a = \frac{3}{4}$

$b = 2$

$c = - \frac{2 π}{3}$

$d = 0$

Bước 2

Tìm biên độ $| a |$ .

Biên độ: $\frac{3}{4}$

Bước 3

Tìm chu kỳ của $\frac{3 \cos (2 x + \frac{2 π}{3})}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 3.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 4

Tìm độ lệch pha bằng công thức $\frac{c}{b}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Độ lệch pha của hàm số có thể được tính từ $\frac{c}{b}$ .

Độ lệch pha: $\frac{c}{b}$

Bước 4.2

Thay thế các giá trị của $c$ và $b$ vào phương trình cho độ lệch pha.

Độ lệch pha: $\frac{- \frac{2 π}{3}}{2}$

Bước 4.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

Độ lệch pha: $- \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 π}{3}$ vào tử số.

Độ lệch pha: $\frac{- 2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 π$ .

Độ lệch pha: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

Độ lệch pha: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.4.4

Viết lại biểu thức.

Độ lệch pha: $\frac{- π}{3}$

Bước 4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Độ lệch pha: $- \frac{π}{3}$

Bước 5

Liệt kê các tính chất của hàm lượng giác.

Biên độ: $\frac{3}{4}$

Chu kỳ: $π$

Độ lệch pha: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ sang bên trái)

Dịch chuyển dọc: Không có

Bước 6

Chọn một vài điểm để vẽ đồ thị.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm một điểm tại $x = - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{π}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1.1

Nhân $2 (- \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- 2 \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.1.2.1.1.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.1.2.1.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.1.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π + 2 π}{3})}{4}$

Bước 6.1.2.1.3

Cộng $- 2 π$ và $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{0}{3})}{4}$

Bước 6.1.2.1.4

Chia $0$ cho $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Bước 6.1.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}$

Bước 6.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 6.2

Tìm một điểm tại $x = - \frac{π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{π}{12}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{12}$ vào tử số.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.2.2.1.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.2.2.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.2.2.1.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.2.2.1.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.2.2.1.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Bước 6.2.2.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Bước 6.2.2.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Bước 6.2.2.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Bước 6.2.2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 4 π}{6})}{4}$

Bước 6.2.2.1.5.2

Cộng $- π$ và $4 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{6})}{4}$

Bước 6.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (π)}{6})}{4}$

Bước 6.2.2.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Bước 6.2.2.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Bước 6.2.2.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Bước 6.2.2.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{0}{4}$

Bước 6.2.2.2.2

Chia $0$ cho $4$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 0$

Bước 6.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 6.3

Tìm một điểm tại $x = \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π + 2 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2.1.3

Cộng $π$ và $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Bước 6.3.2.1.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (π)}{4}$

Bước 6.3.2.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- \cos (0))}{4}$

Bước 6.3.2.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Bước 6.3.2.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Bước 6.3.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Bước 6.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 6.4

Tìm một điểm tại $x = \frac{5 π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{12}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.4.2.1.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Bước 6.4.2.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Bước 6.4.2.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Bước 6.4.2.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Bước 6.4.2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 4 π}{6})}{4}$

Bước 6.4.2.1.5.2

Cộng $5 π$ và $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{9 π}{6})}{4}$

Bước 6.4.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})}{4}$

Bước 6.4.2.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{4}$

Bước 6.4.2.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{4}$

Bước 6.4.2.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{2})}{4}$

Bước 6.4.2.1.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Bước 6.4.2.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{0}{4}$

Bước 6.4.2.2.2

Chia $0$ cho $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 0$

Bước 6.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 6.5

Tìm một điểm tại $x = \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{2 π}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1

Nhân $2 \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.5.2.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Bước 6.5.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π + 2 π}{3})}{4}$

Bước 6.5.2.1.3

Cộng $4 π$ và $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{6 π}{3})}{4}$

Bước 6.5.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})}{4}$

Bước 6.5.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{4}$

Bước 6.5.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{4}$

Bước 6.5.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 π}{1})}{4}$

Bước 6.5.2.1.4.2.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 π)}{4}$

Bước 6.5.2.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Bước 6.5.2.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Bước 6.5.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{4}$

Bước 6.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 6.6

Liệt kê các điểm trong một bảng.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Bước 7

Hàm lượng giác có thể được vẽ đồ thị bằng biên độ, chu kỳ, độ lệch pha, sự dịch chuyển dọc và các điểm.

Biên độ: $\frac{3}{4}$

Chu kỳ: $π$

Độ lệch pha: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ sang bên trái)

Dịch chuyển dọc: Không có

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Bước 8