Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

Bước 1

Tìm tập xác định của $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ sao cho có thể lấy được một danh sách các giá trị $x$ để tìm một danh sách các điểm giúp ta vẽ đồ thị hàm căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Bước 1.2.2

Đặt $4 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đặt $4 + x$ bằng với $0$ .

$4 + x = 0$

Bước 1.2.2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 1.2.3

Đặt $4 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đặt $4 - x$ bằng với $0$ .

$4 - x = 0$

Bước 1.2.3.2

Giải $4 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 4$

Bước 1.2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 4$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x = 4$

Bước 1.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ đúng.

$x = - 4, 4$

Bước 1.2.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Bước 1.2.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 1.2.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Bước 1.2.6.1.3

Vế trái $- 20$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.2.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.2.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Bước 1.2.6.2.3

Vế trái $16$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.2.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 1.2.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Bước 1.2.6.3.3

Vế trái $- 20$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.2.6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 1.2.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 \leq x \leq 4$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 4, 4]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Ký hiệu khoảng:

$[- 4, 4]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Bước 2

Để tìm các điểm cuối, thay biên của các giá trị $x$ từ tập xác định vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Bước 2.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

Bước 2.2.4

Cộng $4$ và $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

Bước 2.2.5

Nhân $0$ với $8$ .

$f (- 4) = \sqrt{0}$

Bước 2.2.6

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.2.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 4) = 0$

Bước 2.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.3

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Bước 2.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Bước 2.4.2

Cộng $4$ và $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

Bước 2.4.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

Bước 2.4.4

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

Bước 2.4.5

Nhân $8$ với $0$ .

$f (4) = \sqrt{0}$

Bước 2.4.6

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (4) = 0$

Bước 2.4.8

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 3

Các điểm cuối là $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Bước 4

Chọn một vài giá trị $x$ từ tập xác định. Sẽ hữu ích hơn khi chọn các giá trị sao cho chúng nằm cạnh giá trị $x$ của điểm cuối của biểu thức chứa căn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ giá trị $- 3$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 3, \sqrt{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Bước 4.1.2.3

Nhân $4 - (- 3)$ với $1$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

Bước 4.1.2.5

Cộng $4$ và $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{7}$

Bước 4.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Bước 4.2

Thay $x$ giá trị $- 2$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 2, 2 \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Bước 4.2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

Bước 4.2.2.4

Cộng $4$ và $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

Bước 4.2.2.5

Nhân $2$ với $6$ .

$f (- 2) = \sqrt{12}$

Bước 4.2.2.6

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

Bước 4.2.2.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Bước 4.2.2.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

Bước 4.2.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Bước 4.3

Thay $x$ giá trị $- 1$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 1, \sqrt{15})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

Bước 4.3.2.4

Cộng $4$ và $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

Bước 4.3.2.5

Nhân $3$ với $5$ .

$f (- 1) = \sqrt{15}$

Bước 4.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Bước 4.4

Thay $x$ giá trị $0$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0, 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Bước 4.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Bước 4.4.2.2

Cộng $4$ và $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

Bước 4.4.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

Bước 4.4.2.4

Cộng $4$ và $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Bước 4.4.2.5

Nhân $4$ với $4$ .

$f (0) = \sqrt{16}$

Bước 4.4.2.6

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

Bước 4.4.2.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (0) = 4$

Bước 4.4.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$y = 4$

Bước 4.5

Thay $x$ giá trị $1$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1, \sqrt{15})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Bước 4.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Bước 4.5.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Bước 4.5.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Bước 4.5.2.4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Bước 4.5.2.5

Nhân $5$ với $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Bước 4.5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Bước 4.6

Thay $x$ giá trị $2$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Bước 4.6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Bước 4.6.2.2

Cộng $4$ và $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

Bước 4.6.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

Bước 4.6.2.4

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

Bước 4.6.2.5

Nhân $6$ với $2$ .

$f (2) = \sqrt{12}$

Bước 4.6.2.6

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

Bước 4.6.2.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Bước 4.6.2.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

Bước 4.6.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Bước 4.7

Thay $x$ giá trị $3$ vào $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(3, \sqrt{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Bước 4.7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Bước 4.7.2.2

Cộng $4$ và $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

Bước 4.7.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

Bước 4.7.2.4

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

Bước 4.7.2.5

Nhân $7$ với $1$ .

$f (3) = \sqrt{7}$

Bước 4.7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Bước 4.8

Căn bậc hai có thể được biểu diễn bằng các điểm xung quanh đỉnh $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

Bước 5