Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm xuống dưới.

Quay mặt lõm xuống

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Bước 1.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{8}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 3, - \frac{17}{8})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - 3$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{15}{8}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- 3, - 2)$

Tiêu điểm: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Trục đối xứng: $x = - 3$

Đường chuẩn: $y = - \frac{15}{8}$

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- 3, - 2)$

Tiêu điểm: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Trục đối xứng: $x = - 3$

Đường chuẩn: $y = - \frac{15}{8}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 2$ với $16$ .

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 12$ với $- 4$ .

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Cộng $- 32$ và $48$ .

$f (- 4) = 16 - 20$

Bước 2.2.2.2

Trừ $20$ khỏi $16$ .

$f (- 4) = - 4$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$- 4$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 4$ là $- 4$ .

$y = - 4$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 2$ với $25$ .

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

Bước 2.5.1.3

Nhân $- 12$ với $- 5$ .

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $- 50$ và $60$ .

$f (- 5) = 10 - 20$

Bước 2.5.2.2

Trừ $20$ khỏi $10$ .

$f (- 5) = - 10$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 10$ .

$- 10$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 5$ là $- 10$ .

$y = - 10$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1.1

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Bước 2.8.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Bước 2.8.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

Bước 2.8.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

Bước 2.8.1.3

Nhân $- 12$ với $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Cộng $- 8$ và $24$ .

$f (- 2) = 16 - 20$

Bước 2.8.2.2

Trừ $20$ khỏi $16$ .

$f (- 2) = - 4$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$- 4$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 2$ là $- 4$ .

$y = - 4$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

Bước 2.11.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

Bước 2.11.1.3

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Cộng $- 2$ và $12$ .

$f (- 1) = 10 - 20$

Bước 2.11.2.2

Trừ $20$ khỏi $10$ .

$f (- 1) = - 10$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 10$ .

$- 10$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $- 10$ .

$y = - 10$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- 3, - 2)$

Tiêu điểm: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Trục đối xứng: $x = - 3$

Đường chuẩn: $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Bước 4