Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $3 x^{2} - 12 x + 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 11$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 6}{3}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 11 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 11 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$e = 11 - \frac{144}{12}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Chia $144$ cho $12$ .

$e = 11 - 1 \cdot 12$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $12$ .

$e = 11 - 12$

Bước 1.1.1.4.2.2

Trừ $12$ khỏi $11$ .

$e = - 1$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $3 {(x - 2)}^{2} - 1$ .

$3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 3$

$h = 2$

$k = - 1$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Bước 1.5.3

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{12}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, - \frac{11}{12})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = 2$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{13}{12}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(2, - 1)$

Tiêu điểm: $(2, - \frac{11}{12})$

Trục đối xứng: $x = 2$

Đường chuẩn: $y = - \frac{13}{12}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(2, - 1)$

Tiêu điểm: $(2, - \frac{11}{12})$

Trục đối xứng: $x = 2$

Đường chuẩn: $y = - \frac{13}{12}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 11$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 11$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (1) = 3 - 12 \cdot 1 + 11$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 12$ với $1$ .

$f (1) = 3 - 12 + 11$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $12$ khỏi $3$ .

$f (1) = - 9 + 11$

Bước 2.2.2.2

Cộng $- 9$ và $11$ .

$f (1) = 2$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = 1$ là $2$ .

$y = 2$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 11$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Bước 2.5.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Bước 2.5.1.3

Nhân $- 12$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 11$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 11$

Bước 2.5.2.2

Cộng $0$ và $11$ .

$f (0) = 11$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $11$ .

$11$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = 0$ là $11$ .

$y = 11$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Bước 2.8.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 12 \cdot 3 + 11$

Bước 2.8.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + 11$

Bước 2.8.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = 27 - 12 \cdot 3 + 11$

Bước 2.8.1.3

Nhân $- 12$ với $3$ .

$f (3) = 27 - 36 + 11$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Trừ $36$ khỏi $27$ .

$f (3) = - 9 + 11$

Bước 2.8.2.2

Cộng $- 9$ và $11$ .

$f (3) = 2$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = 3$ là $2$ .

$y = 2$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 11$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 11$

Bước 2.11.1.2

Nhân $3$ với $16$ .

$f (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 11$

Bước 2.11.1.3

Nhân $- 12$ với $4$ .

$f (4) = 48 - 48 + 11$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Trừ $48$ khỏi $48$ .

$f (4) = 0 + 11$

Bước 2.11.2.2

Cộng $0$ và $11$ .

$f (4) = 11$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $11$ .

$11$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 4$ là $11$ .

$y = 11$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(2, - 1)$

Tiêu điểm: $(2, - \frac{11}{12})$

Trục đối xứng: $x = 2$

Đường chuẩn: $y = - \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Bước 4