Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 3$

$c = \frac{1}{4}$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{1 - 9}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.3

Trừ $9$ khỏi $1$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.4

Chia $- 8$ cho $4$ .

$e = - 2$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = - 2$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{2}, - 2)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - \frac{3}{2}$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{9}{4}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- \frac{3}{2}, - 2)$

Tiêu điểm: $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Trục đối xứng: $x = - \frac{3}{2}$

Đường chuẩn: $y = - \frac{9}{4}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- \frac{3}{2}, - 2)$

Tiêu điểm: $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Trục đối xứng: $x = - \frac{3}{2}$

Đường chuẩn: $y = - \frac{9}{4}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + \frac{1}{4}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = 9 + 3 (- 3) + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 9 + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{1} - 9 + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.2.2

Nhân $\frac{9}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.2.3

Nhân $\frac{9}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.2.4

Viết $- 9$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.2.5

Nhân $\frac{- 9}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.2.6

Nhân $\frac{- 9}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 1}{4}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $9$ với $4$ .

$f (- 3) = \frac{36 - 9 \cdot 4 + 1}{4}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 9$ với $4$ .

$f (- 3) = \frac{36 - 36 + 1}{4}$

Bước 2.2.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Trừ $36$ khỏi $36$ .

$f (- 3) = \frac{0 + 1}{4}$

Bước 2.2.5.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (- 3) = \frac{1}{4}$

Bước 2.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 3$ là $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + \frac{1}{4}$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = 16 + 3 (- 4) + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.1.2

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 12 + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{1} - 12 + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.2

Nhân $\frac{16}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4} - 12 + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.3

Nhân $\frac{16}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} - 12 + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.4

Viết $- 12$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.5

Nhân $\frac{- 12}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.2.6

Nhân $\frac{- 12}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4 - 12 \cdot 4 + 1}{4}$

Bước 2.5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nhân $16$ với $4$ .

$f (- 4) = \frac{64 - 12 \cdot 4 + 1}{4}$

Bước 2.5.4.2

Nhân $- 12$ với $4$ .

$f (- 4) = \frac{64 - 48 + 1}{4}$

Bước 2.5.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Trừ $48$ khỏi $64$ .

$f (- 4) = \frac{16 + 1}{4}$

Bước 2.5.5.2

Cộng $16$ và $1$ .

$f (- 4) = \frac{17}{4}$

Bước 2.5.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{17}{4}$ .

$\frac{17}{4}$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 4$ là $\frac{17}{4}$ .

$y = \frac{17}{4}$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + \frac{1}{4}$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = 1 + 3 (- 1) + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 3 + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - 3 + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.2.2

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.2.3

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} - 3 + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.2.4

Viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.2.5

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.2.6

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 2.8.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{4 - 3 \cdot 4 + 1}{4}$

Bước 2.8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 12 + 1}{4}$

Bước 2.8.4.2

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 + 1}{4}$

Bước 2.8.4.3

Cộng $- 8$ và $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 7}{4}$

Bước 2.8.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 1) = - \frac{7}{4}$

Bước 2.8.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + \frac{1}{4}$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 3 (0) + \frac{1}{4}$

Bước 2.11.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{1}{4}$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{1}{4}$

Bước 2.11.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = \frac{1}{4}$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 0$ là $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & \frac{17}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - 2 \\ - 1 & - \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- \frac{3}{2}, - 2)$

Tiêu điểm: $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Trục đối xứng: $x = - \frac{3}{2}$

Đường chuẩn: $y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & \frac{17}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - 2 \\ - 1 & - \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}$

Bước 4