Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 16 - \frac{1}{4} x^{2}$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn $16 - \frac{1}{4} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

Bước 1.1.1.2

Sắp xếp lại $16$ và $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

Bước 1.1.2

Hoàn thành bình phương cho $- \frac{x^{2}}{4} + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

Bước 1.1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.1.2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Bước 1.1.2.3.2.3

Nhân $0 (- 1 \cdot 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Bước 1.1.2.3.2.3.2

Nhân $0$ với $- 4$ .

$d = 0$

Bước 1.1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.1.2.4.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.1.2.4.2.1.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{4}$ .

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Bước 1.1.2.4.2.1.3

Chia $- 4$ cho $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

Bước 1.1.2.4.2.1.4

Chia $0$ cho $- 1$ .

$e = 16 - 0$

Bước 1.1.2.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = 16 + 0$

Bước 1.1.2.4.2.2

Cộng $16$ và $0$ .

$e = 16$

Bước 1.1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

Bước 1.1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm xuống dưới.

Quay mặt lõm xuống

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(0, 16)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Bước 1.5.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.5.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Bước 1.5.3.3

Chia $4$ cho $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Bước 1.5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{1}$

Bước 1.5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1$

Bước 1.5.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 15)$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = 0$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = 17$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(0, 16)$

Tiêu điểm: $(0, 15)$

Trục đối xứng: $x = 0$

Đường chuẩn: $y = 17$

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(0, 16)$

Tiêu điểm: $(0, 15)$

Trục đối xứng: $x = 0$

Đường chuẩn: $y = 17$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Bước 2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (- 2) = - 1 + 16$

Bước 2.2.2

Cộng $- 1$ và $16$ .

$f (- 2) = 15$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $15$ .

$15$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 2$ là $15$ .

$y = 15$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

Bước 2.5.2

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.5.3

Kết hợp $16$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Bước 2.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Bước 2.5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Nhân $16$ với $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Bước 2.5.5.2

Cộng $- 1$ và $64$ .

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

Bước 2.5.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Bước 2.8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Bước 2.8.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Bước 2.8.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (2) = - 1 + 16$

Bước 2.8.2

Cộng $- 1$ và $16$ .

$f (2) = 15$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $15$ .

$15$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = 2$ là $15$ .

$y = 15$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

Bước 2.11.2

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.11.3

Kết hợp $16$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Bước 2.11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Bước 2.11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1

Nhân $16$ với $4$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Bước 2.11.5.2

Cộng $- 1$ và $64$ .

$f (1) = \frac{63}{4}$

Bước 2.11.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 1$ là $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(0, 16)$

Tiêu điểm: $(0, 15)$

Trục đối xứng: $x = 0$

Đường chuẩn: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Bước 4