Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4} - 16 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Bước 2.2.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Bước 2.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Bước 2.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 2.5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2.6

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 2.6.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, - 4, 4$

Bước 2.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Bước 2.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 2.9.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Bước 2.9.1.3

Vế trái $720$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 2.9.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Bước 2.9.2.3

Vế trái $- 48$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 2.9.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Bước 2.9.3.3

Vế trái $- 48$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.9.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 2.9.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Bước 2.9.4.3

Vế trái $720$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.9.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < 0$ Sai

$0 < x < 4$ Sai

$x > 4$ Đúng

$x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < 0$ Sai

$0 < x < 4$ Sai

$x > 4$ Đúng

Bước 2.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 4$ hoặc $x \geq 4$ hoặc $x = 0$

Bước 2.11

Kết hợp các khoảng.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Bước 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \geq 0}$

Bước 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Khoảng biến thiên: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Bước 6