Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$

Bước 1

Viết $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(2 - x^{3})}^{5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(2 - y^{3})}^{5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(2 - y^{3})}^{5} = x$ .

${(2 - y^{3})}^{5} = x$

Bước 3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$2 - y^{3} = \sqrt[5]{x}$

Bước 3.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$

Bước 3.4

Chia mỗi số hạng trong $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.2.2

Chia $y^{3}$ cho $1$ .

$y^{3} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sqrt[5]{x}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \sqrt[5]{x}$ ở dạng $- \sqrt[5]{x}$ .

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.3.1.3

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + 2$

Bước 3.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

Bước 5.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

Bước 5.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- (2 - x^{3}) + 2}$

Bước 5.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 2 + x^{3} + 2}$

Bước 5.2.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 2 + x^{3} + 2}$

Bước 5.2.7

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Bước 5.2.8

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Bước 5.2.9

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})}^{3})}^{5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại ${\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}}^{3}$ ở dạng $- \sqrt[5]{x} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ ở dạng ${(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {({(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3})}^{5}$

Bước 5.3.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3})}^{5}$

Bước 5.3.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

Bước 5.3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

Bước 5.3.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

Bước 5.3.3.1.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Bước 5.3.3.3

Nhân $- - \sqrt[5]{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + 1 \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Bước 5.3.3.3.2

Nhân $\sqrt[5]{x}$ với $1$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Bước 5.3.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 2)}^{5}$

Bước 5.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 + \sqrt[5]{x} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(0 + \sqrt[5]{x})}^{5}$

Bước 5.3.4.1.2

Cộng $0$ và $\sqrt[5]{x}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Bước 5.3.4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Bước 5.3.4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

Bước 5.3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

Bước 5.3.4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

Bước 5.3.4.2.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ là hàm ngược của $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$