Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3 x^{2} - 7$

Bước 1

Viết $f (x) = 3 x^{2} - 7$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 x^{2} - 7$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3 y^{2} - 7$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 y^{2} - 7 = x$ .

$3 y^{2} - 7 = x$

Bước 3.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} = x + 7$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 y^{2} = x + 7$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y^{2} = x + 7$ cho $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{7}{3}}$

Bước 3.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{7}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 7}{3}}$

Bước 3.5.2

Viết lại $\sqrt{\frac{x + 7}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.5.3

Nhân $\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 3.5.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 3.5.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 3.5.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 3.5.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 3.5.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.5.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.5.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.5.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.5.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 3.5.4.6.5

Tính số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 7} \sqrt{3}}{3}$

Bước 3.5.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 7) \cdot 3}}{3}$

Bước 3.5.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(x + 7) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

Bước 3.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

Bước 3.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

Bước 3.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ và $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- 7, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $\frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{3 (x + 7)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$3 (x + 7) \geq 0$

Bước 5.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x + 7) \geq 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x + 7) \geq 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (x + 7)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 5.3.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x + 7)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 5.3.2.1.2.1.2

Chia $x + 7$ cho $1$ .

$x + 7 \geq \frac{0}{3}$

Bước 5.3.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x + 7 \geq 0$

Bước 5.3.2.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 7$

Bước 5.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 7, \infty)$

Bước 5.4

Tìm tập xác định của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5.5

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ là tập xác định của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = 3 x^{2} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 7)}}{3}$

Bước 6