Giải tích sơ cấp Ví dụ

$3 x - 3 y + 2 z = 9$ , $3 x + y - 3 z = - 8$ , $11 x - y - 2 z = 0$

Bước 1

Chọn hai phương trình và loại bỏ một biến. Trong trường hợp này, loại bỏ $x$ .

$3 x - 3 y + 2 z = 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2

Loại bỏ $x$ khỏi hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi phương trình với giá trị làm cho các hệ số của $x$ đối nhau.

$(- 1) \cdot (3 x - 3 y + 2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn $(- 1) \cdot (3 x - 3 y + 2 z)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 (3 x) - 1 (- 3 y) - 1 (2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2.2.1.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x - 1 (- 3 y) - 1 (2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2.2.1.1.2.2

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$- 3 x + 3 y - 1 (2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2.2.1.1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $- 1$ với $9$ .

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Bước 2.3

Cộng hai phương trình với nhau để loại bỏ $x$ khỏi hệ phương trình.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

Bước 2.4

Phương trình kết quả có $x$ đã bị loại bỏ.

$4 y - 5 z = - 17$

Bước 3

Chọn hai phương trình khác và loại bỏ $x$ .

$3 x + y - 3 z = - 8$

$11 x - y - 2 z = 0$

Bước 4

Loại bỏ $x$ khỏi hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân mỗi phương trình với giá trị làm cho các hệ số của $x$ đối nhau.

$(- 11) \cdot (3 x + y - 3 z) = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn $(- 11) \cdot (3 x + y - 3 z)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 11 (3 x) - 11 y - 11 (- 3 z) = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.1.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Nhân $3$ với $- 11$ .

$- 33 x - 11 y - 11 (- 3 z) = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.1.1.2.2

Nhân $- 3$ với $- 11$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $- 11$ với $- 8$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn $(3) \cdot (11 x - y - 2 z)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$3 (11 x) + 3 (- y) + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.2.1

Nhân $11$ với $3$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x + 3 (- y) + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.3.1.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

Bước 4.2.3.1.2.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

Bước 4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $3$ với $0$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = 0$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = 0$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = 0$

Bước 4.3

Cộng hai phương trình với nhau để loại bỏ $x$ khỏi hệ phương trình.

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

Bước 4.4

Phương trình kết quả có $x$ đã bị loại bỏ.

$- 14 y + 27 z = 88$

Bước 5

Lấy phương trình kết quả và loại bỏ một biến khác. Trong trường hợp này, loại bỏ $y$ .

$4 y - 5 z = - 17$

$- 14 y + 27 z = 88$

Bước 6

Loại bỏ $y$ khỏi hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân mỗi phương trình với giá trị làm cho các hệ số của $y$ đối nhau.

$(7) \cdot (4 y - 5 z) = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn $(7) \cdot (4 y - 5 z)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 (4 y) + 7 (- 5 z) = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2.1.1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.2.1

Nhân $4$ với $7$ .

$28 y + 7 (- 5 z) = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2.1.1.2.2

Nhân $- 5$ với $7$ .

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $7$ với $- 17$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn $(2) \cdot (- 14 y + 27 z)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$28 y - 35 z = - 119$

$2 (- 14 y) + 2 (27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2.3.1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Nhân $- 14$ với $2$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 2 (27 z) = (2) (88)$

Bước 6.2.3.1.2.2

Nhân $27$ với $2$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

Bước 6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Nhân $2$ với $88$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = 176$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = 176$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = 176$

Bước 6.3

Cộng hai phương trình với nhau để loại bỏ $y$ khỏi hệ phương trình.

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$

Bước 6.4

Phương trình kết quả có $y$ đã bị loại bỏ.

$19 z = 57$

Bước 6.5

Chia mỗi số hạng trong $19 z = 57$ cho $19$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chia mỗi số hạng trong $19 z = 57$ cho $19$ .

$\frac{19 z}{19} = \frac{57}{19}$

Bước 6.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{19 z}{19} = \frac{57}{19}$

Bước 6.5.2.1.2

Chia $z$ cho $1$ .

$z = \frac{57}{19}$

Bước 6.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Chia $57$ cho $19$ .

$z = 3$

Bước 7

Thay giá trị của $z$ vào một phương trình với $x$ đã được loại bỏ và giải tìm biến còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay giá trị của $z$ vào một phương trình với $x$ đã được loại bỏ.

$4 y - 5 \cdot 3 = - 17$

Bước 7.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 5$ với $3$ .

$4 y - 15 = - 17$

Bước 7.2.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Cộng $15$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 y = - 17 + 15$

Bước 7.2.2.2

Cộng $- 17$ và $15$ .

$4 y = - 2$

Bước 7.2.3

Chia mỗi số hạng trong $4 y = - 2$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = - 2$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 2}{4}$

Bước 7.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 2}{4}$

Bước 7.2.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 2}{4}$

Bước 7.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1)}{4}$

Bước 7.2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 7.2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 7.2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{- 1}{2}$

Bước 7.2.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{2}$

Bước 8

Thay giá trị của từng biến đã biết vào một trong các phương trình ban đầu và giải tìm biến còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay giá trị của mỗi biến đã biết vào một trong các phương trình ban đầu.

$3 x - 3 (- \frac{1}{2}) + 2 (3) = 9$

Bước 8.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn $3 x - 3 (- \frac{1}{2}) + 2 (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Nhân $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$3 x + 3 (\frac{1}{2}) + 2 (3) = 9$

Bước 8.2.1.1.1.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 2 (3) = 9$

Bước 8.2.1.1.2

Nhân $2$ với $3$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 6 = 9$

Bước 8.2.1.2

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2} = 9$

Bước 8.2.1.3

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} = 9$

Bước 8.2.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x + \frac{3 + 6 \cdot 2}{2} = 9$

Bước 8.2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.5.1

Nhân $6$ với $2$ .

$3 x + \frac{3 + 12}{2} = 9$

Bước 8.2.1.5.2

Cộng $3$ và $12$ .

$3 x + \frac{15}{2} = 9$

Bước 8.2.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Trừ $\frac{15}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = 9 - \frac{15}{2}$

Bước 8.2.2.2

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 x = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Bước 8.2.2.3

Kết hợp $9$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Bước 8.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x = \frac{9 \cdot 2 - 15}{2}$

Bước 8.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.5.1

Nhân $9$ với $2$ .

$3 x = \frac{18 - 15}{2}$

Bước 8.2.2.5.2

Trừ $15$ khỏi $18$ .

$3 x = \frac{3}{2}$

Bước 8.2.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{3}{2}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{3}{2}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Bước 8.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Bước 8.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Bước 8.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 8.2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 8.2.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{1}{2}$

Bước 9

Đáp án cho hệ phương trình có thể được biểu diễn như một điểm.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 3)$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng điểm:

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 3)$

Dạng phương trình:

$x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}, z = 3$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$