Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 x - 3$

Bước 1

Tìm mọi tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Bước 1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

Bước 2

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 1$	$2$	$- 3$

Bước 2.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(2)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 1$	$2$	$- 3$

	$2$

Bước 2.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(- 1)$ và đặt kết quả của $(- 2)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$

Bước 2.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$	$- 5$

Bước 2.5

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$2 + \frac{- 5}{x + 1}$

Bước 2.6

Rút gọn đa thức thương.

$2 - \frac{5}{x + 1}$

Bước 3

Vì $- 1 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 1$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 1$

Bước 4

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{2 x - 3}{x + \frac{1}{2}}$ khi $x = - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

Bước 4.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(2)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Bước 4.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(- \frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(- 1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 3)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$

Bước 4.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$	$- 4$

Bước 4.5

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$2 + \frac{- 4}{x + \frac{1}{2}}$

Bước 4.6

Rút gọn đa thức thương.

$2 - \frac{8}{2 x + 1}$

Bước 5

Vì $- \frac{1}{2} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{1}{2}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{1}{2}$

Bước 6

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ khi $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$3$	$2$	$- 3$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(2)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$3$	$2$	$- 3$

	$2$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 3)$ .

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$	$3$

Bước 6.5

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$2 + \frac{3}{x - 3}$

Bước 7

Vì $3 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $3$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $3$

Bước 8

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{2 x - 3}{x + 3}$ khi $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 3$	$2$	$- 3$

Bước 8.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(2)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 3$	$2$	$- 3$

	$2$

Bước 8.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 3)$ .

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$

Bước 8.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$	$- 9$

Bước 8.5

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$2 + \frac{- 9}{x + 3}$

Bước 8.6

Rút gọn đa thức thương.

$2 - \frac{9}{x + 3}$

Bước 9

Vì $- 3 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 3$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 3$

Bước 10

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{2 x - 3}{x - \frac{3}{2}}$ khi $x = \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Bước 10.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(2)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Bước 10.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(\frac{3}{2})$ và đặt kết quả của $(3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$

Bước 10.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$	$0$

Bước 10.5

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$2$

Bước 11

Vì $\frac{3}{2} > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $\frac{3}{2}$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $\frac{3}{2}$

Bước 12

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{2 x - 3}{x + \frac{3}{2}}$ khi $x = - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Bước 12.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(2)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Bước 12.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(- \frac{3}{2})$ và đặt kết quả của $(- 3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$

Bước 12.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$	$- 6$

Bước 12.5

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$2 + \frac{- 6}{x + \frac{3}{2}}$

Bước 12.6

Rút gọn đa thức thương.

$2 - \frac{12}{2 x + 3}$

Bước 13

Vì $- \frac{3}{2} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{3}{2}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{3}{2}$

Bước 14

Xác định các biên trên và dưới.

Các biên trên: $3, \frac{3}{2}$

Các biên dưới: $- 1, - \frac{1}{2}, - 3, - \frac{3}{2}$

Bước 15