Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Bước 1

Cực tiểu của hàm bậc hai xảy ra tại $x = - \frac{b}{2 a}$ . Nếu $a$ dương, giá trị cực tiểu của hàm số là $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{cực tiểu}$ $x = a x^{2} + b x + c$ xảy ra tại $x = - \frac{b}{2 a}$

Bước 2

Tìm $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay vào các giá trị của $a$ và $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Bước 2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Bước 3

Tính $f (- \frac{3}{10})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{3}{10}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.3

Nhân $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.5

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.7

Nhân $3 (- \frac{3}{10})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Bước 3.2.1.7.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Bước 3.2.1.7.3

Nhân $- 3$ với $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Bước 3.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Bước 3.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nhân $\frac{9}{10}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Bước 3.2.2.2

Nhân $\frac{9}{10}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Bước 3.2.2.3

Viết $- 7$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Bước 3.2.2.4

Nhân $\frac{- 7}{1}$ với $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Bước 3.2.2.5

Nhân $\frac{- 7}{1}$ với $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Bước 3.2.2.6

Sắp xếp lại các thừa số của $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Bước 3.2.2.7

Nhân $2$ với $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Bước 3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Bước 3.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $- 9$ với $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $- 7$ với $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Bước 3.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Trừ $18$ khỏi $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Bước 3.2.5.2

Trừ $140$ khỏi $- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Bước 3.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Bước 3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Bước 4

Sử dụng các giá trị $x$ và $y$ để tìm nơi xảy ra cực tiểu.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Bước 5