Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3 \sqrt{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = 3 \sqrt{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 \sqrt{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3 \sqrt{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 \sqrt{y} = x$ .

$3 \sqrt{y} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 \sqrt{y} = x$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \sqrt{y} = x$ cho $3$ .

$\frac{3 \sqrt{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \sqrt{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\sqrt{y}$ cho $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{3}$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3^{2}}$

Bước 3.4.3.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{9}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3 \sqrt{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3 \sqrt{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{{(3 \sqrt{x})}^{2}}{9}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{3^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{9}$

Bước 5.2.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 {\sqrt{x}}^{2}}{9}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Bước 5.2.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Bước 5.2.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 x^{\frac{2}{2}}}{9}$

Bước 5.2.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 x^{\frac{2}{2}}}{9}$

Bước 5.2.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.2.3.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{2}}{9})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{9}) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Bước 5.3.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (\frac{x^{2}}{9}) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Bước 5.3.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{9}) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Bước 5.3.5

Viết lại $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ ở dạng ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{9}) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Bước 5.3.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{x^{2}}{9}) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{9}) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{9}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9}$ là hàm ngược của $f (x) = 3 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9}$