Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y + \frac{1}{3} = x$ .

$2 y + \frac{1}{3} = x$

Bước 3.2

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y = x - \frac{1}{3}$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x - \frac{1}{3}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x - \frac{1}{3}$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.3.3.1.2

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.3.1.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Để viết $2 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3.1.2

Kết hợp $2 x$ và $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3.1.4

Nhân $3$ với $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3.3

Nhân $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Nhân $\frac{6 x + 1}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.3.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

Bước 5.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Bước 5.2.4.2.2

Cộng $6 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Bước 5.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Bước 5.2.4.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{6}$ vào tử số.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.3.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- \frac{1}{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ là hàm ngược của $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$