Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Bước 1

Viết $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ ở dạng một phương trình.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Bước 3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Bước 3.2.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (3 y + 6) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Bước 3.5.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y = e^{x} - 6$

Bước 3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $3 y = e^{x} - 6$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = e^{x} - 6$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Bước 3.5.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Bước 3.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Chia $- 6$ cho $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ có là hàm ngược của $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Bước 5.2.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Bước 5.2.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Bước 5.2.4.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Bước 5.2.4.1.4

Nhân $2$ với $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Bước 5.2.4.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Bước 5.2.4.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Bước 5.2.4.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Bước 5.2.4.2.2

Chia $x + 2$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\frac{e^{x}}{3}$ và $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Bước 5.3.4

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Bước 5.3.6

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Bước 5.3.7

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Bước 5.3.8

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ là hàm ngược của $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$