Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Bước 1

Viết $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ ở dạng một phương trình.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Bước 3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$3^{y + 1} = x + 2$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Bước 3.4

Khai triển $\ln (3^{y + 1})$ bằng cách di chuyển $y + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn $(y + 1) \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Bước 3.5.1.2

Nhân $\ln (3)$ với $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Bước 3.6

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Bước 3.7

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Bước 3.8

Trừ $\ln (\frac{3}{x + 2})$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Bước 3.9

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ cho $\ln (3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ cho $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Bước 3.9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Bước 3.9.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Bước 3.9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $3^{x + 1}$ và $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ là hàm ngược của $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$