Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 8 x^{3} - 5$

Bước 1

Viết $f (x) = 8 x^{3} - 5$ ở dạng một phương trình.

$y = 8 x^{3} - 5$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 8 y^{3} - 5$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 y^{3} - 5 = x$ .

$8 y^{3} - 5 = x$

Bước 3.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 y^{3} = x + 5$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{3} = x + 5$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{3} = x + 5$ cho $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $y^{3}$ cho $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$

Bước 3.5

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{8}}$

Bước 3.5.2

Viết lại $\frac{x + 5}{8}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{3}$ ra ngoài $x + 5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{8}}$

Bước 3.5.2.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{3}$ ra ngoài $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}}$

Bước 3.5.2.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)}$

Bước 3.5.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x + 5}$

Bước 3.5.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt[3]{x + 5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{3} - 5$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (8 x^{3} - 5)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} - 5) + 5}}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $8 x^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại $8 x^{3}$ ở dạng ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Bước 5.2.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})}^{3} - 5$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x + 5}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.2

Viết lại ${\sqrt[3]{x + 5}}^{3}$ ở dạng $x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x + 5}$ ở dạng ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.2.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Bước 5.3.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 5 - 5$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 5 - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$