Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$- \sqrt{y + 1} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sqrt{y + 1} = x$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sqrt{y + 1} = x$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Bước 3.2.2.2

Chia $\sqrt{y + 1}$ cho $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Bước 3.2.3.2

Viết lại $- 1 \cdot x$ ở dạng $- x$ .

$\sqrt{y + 1} = - x$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y + 1}$ ở dạng ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(- x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Bước 3.4.3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Bước 3.4.3.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Bước 3.5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x^{2} - 1$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ có là hàm ngược của $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Bước 5.2.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Bước 5.2.3.3

Nhân ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ với $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Bước 5.2.3.4

Viết lại ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ ở dạng $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Bước 5.2.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Bước 5.2.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Bước 5.2.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Bước 5.2.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Bước 5.2.3.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{2} - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Bước 5.3.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Bước 5.3.4

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ là hàm ngược của $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$