Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{2} + 8 x$

Bước 1

Viết $f (x) = x^{2} + 8 x$ ở dạng một phương trình.

$y = x^{2} + 8 x$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = y^{2} + 8 y$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{2} + 8 y = x$ .

$y^{2} + 8 y = x$

Bước 3.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} + 8 y - x = 0$

Bước 3.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 8$ , và $c = - x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $64 + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.4

Viết lại $4 (16 + x)$ ở dạng $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $64 + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4

Viết lại $4 (16 + x)$ ở dạng $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Bước 3.6.3

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Bước 3.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $64 + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4

Viết lại $4 (16 + x)$ ở dạng $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Bước 3.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ có là hàm ngược của $f (x) = x^{2} + 8 x$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = x^{2} + 8 x$ và $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- 16, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $- 4 + \sqrt{16 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{16 + x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$16 + x \geq 0$

Bước 5.3.2

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 16$

Bước 5.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 16, \infty)$

Bước 5.4

Tìm tập xác định của $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5.5

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = x^{2} + 8 x$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ là tập xác định của $f (x) = x^{2} + 8 x$ , nên $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ là hàm ngược của $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

Bước 6