Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 1 - x^{2}$

Bước 1

Viết $f (x) = 1 - x^{2}$ ở dạng một phương trình.

$y = 1 - x^{2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 1 - y^{2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 - y^{2} = x$ .

$1 - y^{2} = x$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y^{2} = x - 1$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $- y^{2} = x - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- y^{2} = x - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot x$ ở dạng $- x$ .

$y^{2} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.3.1.3

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$y^{2} = - x + 1$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- x + 1}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{- x + 1}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{- x + 1}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{- x + 1}$

$y = - \sqrt{- x + 1}$

$y = \sqrt{- x + 1}$

$y = - \sqrt{- x + 1}$

$y = \sqrt{- x + 1}$

$y = - \sqrt{- x + 1}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = 1 - x^{2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = 1 - x^{2}$ và $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 1]$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $\sqrt{- x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- x + 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- x + 1 \geq 0$

Bước 5.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x \geq - 1$

Bước 5.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x \geq - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \geq - 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x \leq 1$

Bước 5.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 1]$

Bước 5.4

Tìm tập xác định của $f (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5.5

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = 1 - x^{2}$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ là tập xác định của $f (x) = 1 - x^{2}$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ là hàm ngược của $f (x) = 1 - x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Bước 6