Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3^{x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = 3^{x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = 3^{x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3^{y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3^{y - 1} = x$ .

$3^{y - 1} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển $\ln (3^{y - 1})$ bằng cách di chuyển $y - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x)$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn $(y - 1) \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x)$

Bước 3.4.1.2

Viết lại $- 1 \ln (3)$ ở dạng $- \ln (3)$ .

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x)$

Bước 3.5

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x) = 0$

Bước 3.6

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $\ln (3)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (3) - \ln (x) = \ln (3)$

Bước 3.6.2

Cộng $\ln (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$

Bước 3.7

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ cho $\ln (3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ cho $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Bước 3.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Bước 3.7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Bước 3.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Bước 3.7.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3^{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} \cdot 3^{x - 1}$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Khai triển $\ln (3^{x - 1})$ bằng cách di chuyển $x - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3.2.2

Chia $x - 1$ cho $1$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + x - 1$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $0$ và $\frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

Bước 5.3.4

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x)}$

Bước 5.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ là hàm ngược của $f (x) = 3^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$