Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $6 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $5 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Bước 3.4.3

Đưa $3 y$ ra ngoài $3 y x - 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $3 y$ ra ngoài $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $3 y$ ra ngoài $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $3 y$ ra ngoài $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $3 y (x - 2) = 5 x$ cho $3 (x - 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y (x - 2) = 5 x$ cho $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Bước 3.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Bước 3.4.4.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4

Viết lại $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x - 2 (3 x - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (3 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.5

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.4.6

Cộng $0$ và $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.4.5

Nhân $2$ với $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.5

Nhân $5$ với $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Bước 5.2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Bước 5.2.6.2

Nhân $3$ với $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Bước 5.2.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Đưa $30$ ra ngoài $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Bước 5.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Bước 5.2.8.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Bước 5.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Bước 5.3.3

Kết hợp $6$ và $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Bước 5.3.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Bước 5.3.4.2

Để viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $- 5$ và $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x - 5 (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.1.2

Đưa $5$ ra ngoài $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.1.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.4

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.5

Cộng $0$ và $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Bước 5.3.4.6

Nhân $5$ với $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Bước 5.3.5

Nhân $6$ với $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Bước 5.3.6

Rút gọn biểu thức $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $30 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Bước 5.3.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Bước 5.3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Bước 5.3.8.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 5.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 5.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$