Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = - 3$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Bước 4.1.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Bước 4.1.3

Nhân $- 1$ với $- 27$ .

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Bước 4.1.4

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

Bước 4.1.5

Nhân $- 11$ với $9$ .

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

Bước 4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $81$ và $27$ .

$108 - 99 + 3 - 12$

Bước 4.2.2

Trừ $99$ khỏi $108$ .

$9 + 3 - 12$

Bước 4.2.3

Cộng $9$ và $3$ .

$12 - 12$

Bước 4.2.4

Trừ $12$ khỏi $12$ .

$0$

Bước 5

Vì $- 3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 3$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 4)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 11)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 4)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Bước 7

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Bước 7.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Bước 8

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x - 4$ .

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Bước 9

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Bước 9.2

Đưa $- x$ ra ngoài $- x^{3} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $- x$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Bước 9.2.2

Đưa $- x$ ra ngoài $- x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Bước 9.2.3

Đưa $- x$ ra ngoài $- x (x^{2}) - x (1)$ .

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Bước 9.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Bước 9.4

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

Bước 9.5

Phân tích $u^{2} - 11 u - 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 12$ và tổng của chúng là $- 11$ .

$- 12, 1$

Bước 9.5.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

Bước 9.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Bước 9.7

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $- x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Bước 9.7.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

Bước 9.7.3

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Bước 9.8

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Bước 9.9

Phân tích $- u + u^{2} - 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.9.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 12$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 4, 3$

Bước 9.9.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Bước 9.10

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Bước 9.10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Bước 10

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 11

Đặt $x^{2} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt $x^{2} + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Bước 11.2

Giải $x^{2} + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 1$

Bước 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 11.2.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 11.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 11.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 11.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 12

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 12.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 13

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 13.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 14

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = i, - i, 4, - 3$

Bước 15