Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hoàn thành bình phương cho $- 54 x + 9 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sắp xếp lại $- 54 x$ và $9 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 54 x$

Bước 1.1.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Bước 1.1.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Bước 1.1.4.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Bước 1.1.4.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 27}{9}$

Bước 1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Bước 1.1.4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Bước 1.1.4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Bước 1.1.4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 3}{1}$

Bước 1.1.4.2.2.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$d = - 3$

Bước 1.1.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.1.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.1

Nâng $- 54$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Bước 1.1.5.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Bước 1.1.5.2.1.3

Chia $2916$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Bước 1.1.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $81$ .

$e = 0 - 81$

Bước 1.1.5.2.2

Trừ $81$ khỏi $0$ .

$e = - 81$

Bước 1.1.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Bước 1.2

Thay $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ cho $- 54 x + 9 x^{2}$ trong phương trình $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Bước 1.3

Di chuyển $- 81$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $81$ vào cả hai vế.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Bước 1.4

Cộng $63$ và $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Bước 1.5

Chia mỗi số hạng cho $144$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Bước 1.6

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Bước 4

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Bước 5

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Cộng $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ và $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Bước 5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Bước 5.2.4

Nhân $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Bước 5.2.4.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Bước 5.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Bước 6

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Bước 6.2

Rút gọn $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ và $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Bước 6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Bước 6.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Bước 6.2.4

Nhân $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Bước 6.2.4.2

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Bước 6.2.4.3

Nhân $3$ với $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Bước 6.2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Bước 7

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Bước 8

Các tiệm cận là $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ và $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Bước 9