Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Bước 1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{4}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{4}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Bước 3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.3.2

Nhân $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Bước 4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 5.1.4

Nhân $4$ với $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 5.1.5

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{7 π}{4}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{7 π}{4}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Nhân $\frac{7 π}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Bước 5.2.3.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Bước 6

Tìm chu kỳ của $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 6.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 7

Chu kỳ của hàm $\cos (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $[0, 2 π]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π]$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{π}{8} + π (0)$

Bước 8.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{π}{8} + 0$

Bước 8.1.2.2

Cộng $\frac{π}{8}$ và $0$ .

$\frac{π}{8}$

Bước 8.1.3

Khoảng $[0, 2 π]$ chứa $\frac{π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}$

Bước 8.2

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π]$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

Bước 8.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{7 π}{8} + 0$

Bước 8.2.2.2

Cộng $\frac{7 π}{8}$ và $0$ .

$\frac{7 π}{8}$

Bước 8.2.3

Khoảng $[0, 2 π]$ chứa $\frac{7 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

Bước 8.3

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π]$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{π}{8} + π (1)$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{π}{8} + π$

Bước 8.3.2.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Bước 8.3.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Bước 8.3.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

Bước 8.3.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.4.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

Bước 8.3.2.4.2

Cộng $π$ và $8 π$ .

$\frac{9 π}{8}$

Bước 8.3.3

Khoảng $[0, 2 π]$ chứa $\frac{9 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

Bước 8.4

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π]$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

Bước 8.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{7 π}{8} + π$

Bước 8.4.2.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Bước 8.4.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Bước 8.4.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

Bước 8.4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.4.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

Bước 8.4.2.4.2

Cộng $7 π$ và $8 π$ .

$\frac{15 π}{8}$

Bước 8.4.3

Khoảng $[0, 2 π]$ chứa $\frac{15 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$