Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$

Bước 1

Phân tích $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Bước 1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Bước 1.3

Thay $- 1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $- 1$ vào đa thức.

${(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Bước 1.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Bước 1.3.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 + 24 \cdot - 1 + 16$

Bước 1.3.4

Nhân $9$ với $1$ .

$- 1 + 9 + 24 \cdot - 1 + 16$

Bước 1.3.5

Cộng $- 1$ và $9$ .

$8 + 24 \cdot - 1 + 16$

Bước 1.3.6

Nhân $24$ với $- 1$ .

$8 - 24 + 16$

Bước 1.3.7

Trừ $24$ khỏi $8$ .

$- 16 + 16$

Bước 1.3.8

Cộng $- 16$ và $16$ .

$0$

Bước 1.4

Vì $- 1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16}{x + 1}$

Bước 1.5

Chia $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Bước 1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$

Bước 1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Bước 1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Bước 1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $8 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Bước 1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Bước 1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Bước 1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Bước 1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Bước 1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $16 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Bước 1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	+	$16$

Bước 1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $16 x + 16$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$

Bước 1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$
										$0$

Bước 1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + 8 x + 16$

Bước 1.6

Viết $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x + 1) (x^{2} + 8 x + 16)$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2})$

Bước 2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Bước 2.3

Viết lại đa thức này.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})$

Bước 2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$(x + 1) {(x + 4)}^{2}$