Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (x + 2) - \ln (x) = 2$

Bước 1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 2}{x}) = 2$

Bước 2

Viết lại $\ln (\frac{x + 2}{x}) = 2$ dưới dạng số mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b$ $\neq$ $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 2}{x}$

Bước 3

Nhân chéo để loại bỏ phân số.

$x + 2 = e^{2} (x)$

Bước 4

Nhân $e^{2}$ với $x$ .

$x + 2 = e^{2} x$

Bước 5

Trừ $e^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x + 2 - e^{2} x = 0$

Bước 6

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x - e^{2} x = - 2$

Bước 7

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x - e^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x - e^{2} x = - 2$

Bước 7.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 2$

Bước 7.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 2$

Bước 7.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - 2$

Bước 7.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - 2$

Bước 7.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 2$

Bước 7.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (1 + e) (1 - e) = - 2$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x (1 + e) (1 - e) = - 2$ cho $1 - e^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x (1 + e) (1 - e) = - 2$ cho $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.2.1.2

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 - e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x = \frac{- 2}{1^{2} - e^{2}}$

Bước 8.3.1.2

$x = \frac{- 2}{(1 + e) (1 - e)}$

Bước 8.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{2}{(1 + e) (1 - e)}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - \frac{2}{(1 + e) (1 - e)}$

Dạng thập phân:

$x = 0.31303528 \dots$