Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan^{2} (x) - 2 \sec (x) = 2$

Bước 1

Thay thế $\tan^{2} (x)$ bằng $\sec^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 2 \sec (x) = 2$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\sec^{2} (x) - 2 \sec (x) - 1 = 2$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u - 1 = 2$

Bước 4

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} - 2 u - 1 - 2 = 0$

Bước 5

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Bước 6

Phân tích $u^{2} - 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 6.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 8

Đặt $u - 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u - 3$ bằng với $0$ .

$u - 3 = 0$

Bước 8.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 3$

Bước 9

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 9.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 3) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = 3, - 1$

Bước 11

Thay $\sec (x)$ bằng $u$ .

$\sec (x) = 3, - 1$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sec (x) = 3$

$\sec (x) = - 1$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (3)$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $arcsec (3)$ .

$x = 1.23095941$

Bước 13.3

Hàm secant dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Bước 13.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Bước 13.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Bước 13.4.2.2

Trừ $1.23095941$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (- 1)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $arcsec (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 14.3

Hàm secant âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 14.4

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$